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son conmensurables y, por consiguiente, se remiten a números. En
otras palabras, si son inconmensurables, la «antif éresis» no tiene
fin: es infinita. Son las proposiciones 2 y 3 del Libro X. A pesar de
estas asunciones, Euclides no extrajo de este método la potencia-
lidad que sí encontraron los matemáticos indios y chinos.
EL NÚCLEO ARITMÉTICO DE LOS «ELEMENTOS»
En el ámbito de la aritmética, el texto euclídeo contiene los si-
guientes resultados importantes:
Libro VII, proposición 17. Si dos números multiplicados
alternativamente dan ciertos números estos coinciden.
[Propiedad conmutativa del producto.]
Libro VII, proposición 18. Si cuatro números son propor-
cionales
(: = : ), lo son alternados ( esto es, 1;' = ~).
Libro VII, proposición 19. Si m = p si, y solo si, m x q = n x p.
n q
Libro VII, proposición 20. De entre todos los números que
tienen la misma razón los menores son primos entre sí.
Libro VII, proposición 24. Si (p, m) = 1 (P, n) = 1, entonces
(p,mxn)=l.
Libro VII, proposición 29. Si p es primo y p no es parte de
n, entonces (p,n) = l.
Libro VII, proposición 30. Si p es primo y divide a (es
parte de) m x n, entonces p es parte de uno de ambos factores
m, n. (Lema de Euclides-Gauss.)
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