Page 150 - 20 Euclides

LOS NÚMEROS PERFECTOS
Si bien Euclides ofreció la definición correcta y un teorema que sirve para
generar los números perfectos, no dio ningún ejemplo de ellos. El enunciado
de la proposición correspondiente puede parecer poco claro, seguramente
porque está dado de forma descriptiva:
Libro IX, proposición 36. Si varios números, empezando por la uni-
dad, están en proporción duplicada y el conjunto de todos es un
número primo, el producto de este conjunto por el último es un nú-
mero perfecto.

Expresados los números, dice lo siguiente:
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Si 1, 2, 2 , 2 , ... , 2n es una sucesión en «proporción duplicada», sumamos
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y obtenemos Sn = 1 + 2 + 2 + 2 + ... + 2n = 2n+' - l; si Sn es un número primo,
entonces Pn=2nx sn=2nx c2n+l_l) es un número perfecto (par).
Euclides pudo resolver este resultado porque en la proposición 35 del Libro
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IX dio la fórmula que servía para sumar los términos de la sucesión 1, 2, 2 ,
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2 , ... , 2n. Observó además que los únicos divisores propios -los únicos que
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considera Euclides entre los cuales considera la unidad- de Pn son 1, 2, 2 , 2 , .. . ,
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2n y Sn, 2 X Sn, 2 X Sn, 2 X sn , ... , 2n-l X Sn. _Sumó y obtuvo el resultado del teorema:
la suma de los divisores 1, 2, 2 , 2 , ... , 2" es Sn = 2n• -1 y la suma de los divisores
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Sn, 2x5n, 2 x5n, 2 x5n, ... , 2"-'xSn es (2"- l)x5n. La suma de ambos resultados es Pn =
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=Sn + (2" -1) xSn = 2" x5n = 2nx (2n• - l). QED.
Los primeros ejemplos
En su Aritmética, Nicómaco de Gerasa (ca. 60-ca. 120) establece que los nú-
meros perfectos son 6, 28, 496 y 8126. De ahí sacó algunas conclusiones:
l. Los números perfectos (pares) acaban en 6 y en 8 (cierto).
2. Se alternan (falso).
3. Hay uno para cada orden decimal -de las unidades, decenas, centenas,
millares, unidades de mil, etc.- (falso).
Ya en el siglo xv11I, Euler probó el recíproco del teorema de Euclides: Todo
número perfecto [par] es de la forma anterior. 2nx (2"• -1), con 2n• -1 primo.
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En la actualidad todavía hay cuestiones abiertas relativas a los números per-
fectos: no se sabe si hay una infinidad de números perfectos pares ni tampo-
co si hay números perfectos impares.

150 LA ARITMÉTICA EN LOS «ELEMENTOS»