Page 153 - 20 Euclides

a:-k impar 3 5 7 9 11 13 15 ...

b:-n.k~-1 4 12 24 40 60 84 112 ...

e :- n + 1 - k2/ 1 5 13 25 41 61 85 113 ...

De esta manera se obtienen una «infinidad» de ternas pitagó-
ricas, pero no todas; falta, por ejemplo, la terna 8, 15, 17, en.la que
el cateto y la hipotenusa difiere de dos unidades.
Se atribuye a Platón la generalización del método pitagórico
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para obtener tales ternas. Hay que pasar de ( n-1 ) a ( n + 1 ) • Ello
se obtiene sumando dos gnomon: 2n- l, que permite pasar de
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(n-1) a n ; y 2n+ 1, que permite pasar de n a (n+ 1) • En total,
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hay que añadir 4n. Es decir, (n-1) +4n::;: (n + 1) • Basta pues que
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n sea un cuadrado: n=k • Así se obtienen las ternas k -l, 2k y
k + l. Para k = 4, obtenemos la terna 8, 15, 17 antes citada. De
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hecho, se obtiene la siguiente tabla:
k 2 3 4 5 6 7 8
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a :=k -l 3 8 15 24 35 48 63 ...
b:=2k 4 6 8 10 12 14 16 ...
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e :=k +1 5 10 17 26 37 50 65 ...
Existe una diferencia entre ambas tablas: en la primera las
ternas son simples; es decir, carecen de divisores comunes; en
cambio, en la segunda, las columnas que corresponden a valores
impares de k se pueden simplificar por dos y entonces se obtienen
los de la primera tabla. De alguna manera, la segunda tabla con-
tiene a la primera. Sin embargo, ¿existe un algoritmo que dé
«todas» las ternas pitagóricas aritméticas? La respuesta es afirma-
tiva y la da el propio Euclides en el lema 1 del Libro X:

Encontrar dos números cuadrados que juntos formen otro
cuadrado.

LA ARITMÉTICA EN LOS «ELEMENTOS» 153