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Euler llegó a estos resultados, y a otros de suma importancia
también, partiendo de la simple serie de Taylor:

o, xn x 2 x3 x4
ex = ¿-=l+x+-+-+-+ ...
n-o n! 2! 3! 4!

En el anexo 5 se muestra con mayor detalle el modo en que Euler
dedujo su fórmula de esta última expresión.
Si damos ax el valor del número pi en el marco de la fórmula
de Euler se tiene que:

ei" = cos n+ isen n = -1+ i0 = -1,

y cambiando de lado al-1:

Esta ecuación, conocida como identidad de Euler, está con-
siderada por muchos matemáticos como la más hermosa de toda
la disciplina.
También en Introductio in analysin infinitorum puede en-
contrarse el auténtico concepto de logaritmo, en una forma que
resuelve el tema de los logaritmos negativos que Euler arrastraba
desde su juventud en Basilea. Euler lo defuúa correctamente como
la operación inversa de la exponenciación, o sea:
a'º&.x = x ,

lo cual lleva a que el logaritmo en el campo complejo tenga infi-
nitos valores que solo difieren en un múltiplo par de n, o sea 2kn.
En particular:

ln(-1) =in+ 2kn (k EZ),

lo que conduce a expresiones como:
"
i i = e1n i; = eiini = e- 2 ... 0,2078795764.

106 BERLÍN, CAPITAL DEL ANÁLISIS