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Asimismo, en este libro se introduce el número e, la fórmula
de De Moivre, las series de potencias senx y cosx, la idea de fun-
ción, muchas series de potencias ( entre otros, se resuelve por otra
vía el problema de Basilea), etc.
También se explican y sistematizan los primeros pasos de la
geometría analítica, impecablemente engarzados en los conceptos
del análisis. Se pueden encontrar entre los temas las coordenadas
oblicuas y polares, las transformaciones de coordenadas, las asín-
totas, las curvaturas, la intersección de curvas, las tangentes, y un
largo etcétera. No solo se tratan los conceptos de forma moderna,
sino que se lleva a cabo una auténtica labor de fusión de los pun-
tos de vista de Newton y Leibniz y queda claro definitivamente
que diferenciación e integración son acciones inversas la una de
la otra; caras enfrentadas de la misma moneda.
En Institutiones calculi differentialis y en Institutiones
calculi integralis se estudian primordialmente las series, las
fracciones continuas, las ecuaciones diferenciales, incluidas las
derivadas parciales, los máximos y mínimos, etc.
Euler mantuvo durante toda su vida un pugilato intelectual
con las series numéricas, sumas infinitas de las que se ignoraba si
eran convergentes o no, y, en caso de que lo fueran, se desconocía
hacia qué convergían, qué suma representaban. En algunos casos
la divergencia era clara, como en la llamada serie armónica:

1 1 1 1 1 1 1
!+-+-+-+-+-+-+-+ ...
2 3 4 5 6 7 8
que el matemático italiano Pietro Mengoli agrupó así:

demostrando que su suma era infinita. Sin embargo, otras eran
desconcertantes. Tomemos por ejemplo:

1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ... ,

BERLÍN, CAPITAL DEL ANÁLISIS 107