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dónde iba a desembocar, una ventaja que no tenía ninguno de
sus contemporáneos. Se supone que el ingenio de Euler ahorró
el equivalente de sumar unos 30 000 términos de la serie original.

EL PROBLEMA DE BASILEA: EL FINAL

Una vez resuelto el problema de Basilea estrictamente dicho,
Euler no se detuvo aquí. Regresemos a la función zeta, de la que
ya se habló en el capítulo anterior:

1 1 1 1
(;(x ) = l+-+-+-+ ... +-+ ...
zx 3x 4x n x

Para X = 1, se obtiene la serie armónica, y para X = 2, la serie
del problema de Basilea. Euler profundizó en la cuestión y, a par-
tir de sus trabajos con el problema de Basilea, obtuvo expresiones
para las series de potencias pares:

hasta t;,(26), con fórmulas cada vez más aparatosas en las que el
número n: aparecía siempre elevado a la potencia n que corres-
ponde a t;(n). En 1739, Euler llegó a una expresión general:

s(Zn) = ( -l)"+1 (2n: )2" B2,, ,
2·(2n)!

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