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LA FÓRMULA DE EULER-MACLAURIN, EN DETALLE

La expresión de la fórmula de Euler-Maclaurin puede resultar intimidante. En
su forma más usual se presenta como:

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~/(x) = J f(x)dx+2[t(n)+ f(ü)]+ ~ [tPl (n)-t"l (o)]+ ...
- - 2 2.
donde los B k son los números Bernoulli y las f <kJ son las sucesivas derivadas
de f. Una aplicación de la fórmula consiste en hacer n = oo, con lo que en la iz-
quierda puede colocarse una serie, y, en ocasiones, mejorar su convergencia.
Euler utilizó este truco en el problema de Basilea, como se verá más adelante.

UNA SUMA QUE SUMA LO INSUMABLE

En 1735, la última de las grandes aportaciones de Euler en el
campo del análisis durante su primera estancia rusa es una fór-
mula de gran utilidad que permite calcular de modo aproximado
una integral a base de sustituirla por una suma, o calcular aproxi-
madamente una sun1a sustituyéndola por una integral. Descubierta
también de forma independiente por el escocés Colin McLaurin, la
denominadafórmula de Euler-Maclaurin funciona como sigue:
dada una funciónf(x), cuando se habla de sumarla, se suele pensar
en dos cosas, vagamente relacionadas, pero distintas. Cuando se la
restringe a valores enteros se obtiene una suma:

"
s(n) = 2 f(k),
kEO
y cuando se la suma para todo x se obtiene una integral:

i(n) = f~' f(x)dx.

Parece evidente que hay algún vínculo entre s( n) e i( n ), pero
la primera es una suma discreta, mientras la segunda es continua.
La fórmula de Euler-Maclaurin es un resultado que permite, en

SERIES, CONSTANTES Y FUNCIONES: EULER EN RUSIA 59