Page 62 - 22 Euler

Euler abordó el tema tan seriamente que se cuenta con varias
demostraciones suyas de la solución. Todas son muy ingeniosas
y algunas muy seductoras para los profesionales del análisis, en
especial una de ellas, publicada en 1741 y que hace referencia a
técnicas del cálculo integral. La demostración considerada «canó-
nica» es la que los expertos denominan tercera demostración, y
es la más elegante desde el punto de vista del lector no especiali-
zado. Se encuentra bosquejada en el anexo 2.

«He encontrado ahora y contra todo pronóstico una
expresión elegante para la suma de la serie que depende
de la cuadratura del círculo ... He encontrado que seis veces
la suma de esta serie es igual al cuadrado de la longitud
de la circunferencia cuyo diámetro es l.»

- LEONHARD EULER.

La resolución del problema fue algo inesperado por la comu-
nidad científica, y la noticia de la solución al problema de Basilea
dio la vuelta al mundo; una vuelta extremadamente modesta, ya
que el mundo era entonces bastante restringido, el mundo culto
mucho más y los medios de comunicación, salvo el correo, de al-
cance muy limitado.
Euler preparó el camino a su solución con cálculos y manio-
bras preliminares. Por ejemplo, recurrió a sumaciones previas pro-
pias del método de Euler-Maclaurin para probar, antes de empezar,
una aproximación mejor que 1,64. A base de ingenio, Euler encon-
tró hasta seis cifras exactas y se situó en el punto de partida con:

1 1 1
l+-+,+,+ ... = 1,644934.
2 2 3- 4-

Por otra parte, a alguien acostumbrado a las potencias de n
y con una memoria tan fabulosa como la suya, no debió escapár-
2
sele que 1,644934 se parecía mucho a n /6. De manera que hay que
suponer que, al iniciar el espinoso camino, ya sabía de antemano

62 SERIES, CONSTANTES Y FUNCIONES: EULER EN RUSIA