Page 58 - 22 Euler
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1 1 1
1 + - + - + ... + - = y+ 1n n.
2 3 n
El logaritmo lo dará la calculadora y en cuanto a y aquí apa-
rece con cincuenta decimales:
0,57721566490153286060651209008240243104215933593992 ...
Otro ejemplo algo más abstracto sería el siguiente: si se quiere
saber cuántos divisores de n hay en promedio entre 1 y n, se
puede emplear la expresión ln n + 2y- l. Se trata de una aproxima-
ción, tanto más exacta cuanto más grande se hace n y más diviso-
res tiene.
LA CONSTANTE y Y LOS NÚMEROS PRIMOS
La constante y es mucho menos frecuente que rt o e. No es difícil hallar una
fórmula que relacione a las tres:
e'•½ TI~ -•..!..( l)n
--= e 2n l+- .
& n-1 n
El propio Euler encontró conexiones entre y y la función zeta, como:
y= i (-1/ s(n),
n-2 n
y hay fórmulas que conectan directamente a y con los números primos,
como la fórmula de Franz Mertens (1840-1927):
1·
1 Iln P;
·1
e= 1m-- --,
n- lnpn ;., P; -1
donde los p son solo números primos. Ya tenemos a y, la función zeta y los
números primos involucrados. Cabe poca duda de que la tercera constante
de Euler es importante, y que lo será aún más.
58 SERIES, CONSTANTES Y FUNCIONES: EULER EN RUSIA
