Page 113 - 30 Cantor

Cada vez que
agregamos toda
una clase de
Ordinales de clase 1 _ ;----+-- - - -+ El cardinal infinito nuevos ordinales,
pasamos al
(números naturales) más pequeño
cardinal inmediato
siguiente.
_ l--i----+ El cardinal inmediato
Ordinales de clase 11
siguiente al anterior
---+-- - - + El cardinal inmediato
Ordinales de clase 111
siguiente al anterior

probó que al conjunto de las clases I y II le corresponde el cardinal
que sigue inmediatamente al cardinal de los números naturales.
Observemos la elegancia del sistema de Cantor (véase la fi-
gura); el conjunto de los ordinales de clase I es numerable, su car-
dinal es el más pequeño de entre todos los cardinales infinitos. Si
agregamos la clase II, obtenemos el cardinal inmediato siguiente;
si agregamos la clase III, obtenemos el cardinal que sigue, y así ·
sucesivamente con las clases IV, V, ... En 1883, estos cardinales
todavía no tenían un nombre. Como veremos en el próximo capí-
tulo, Cantor se lo daría en 1895.
En sus «Fundan1entos para una teoría general de variedades»
Cantor dice que siempre intuyó que había cardinales mayores que
el de los reales, pero que hasta ese momento no había sido capaz
de hallar ningún ejemplo. Este sistema de los ordinales - la «hé-
lice virtuosa de los ordinales y los cardinales», como la llama el
historiador José Ferreirós- le permitió finalmente demostrar la
existencia de una cantidad infinita de niveles de infinitud.
¿Dónde encaja en este sistema el cardinal de los reales? Tal
como vimos, el cardinal inmediato al de los naturales se obtiene
al agregar la clase II a la clase I; a su vez, la hipótesis del continuo,
recordemos, dice que ese cardinal es el de los reales. Es decir, si
la hipótesis del continuo fuera cierta, toda la teoría tendría una
elegante coherencia, ya que la clase I nos daría el cardinal de los
naturales y la clase II el de los reales.
Desde este descubrimiento, Cantor sintió que la hipótesis del
continuo se volvía una pieza clave de su teoría y llegó casi hasta
la obsesión en sus intentos de demostrarla, pero nunca lo logró

LOS ORDINALES INFINITOS 113