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jeto que un matemático defina, por el mero hecho de ser definido,
existe, con la única condición de que esa definición no conduzca
a contradicciones lógicas. Pero, ¿es cierto que las propiedades
de los ordinales no conducen a contradicciones? Volvamos al se-
gundo principio de generación: dada cualquier sucesión de ordina-
les, siempre hay otro nuevo ordinal que es mayor que todos ellos.
A la luz de este principio, si consideramos la sucesión formada
por todos los ordinales, tiene que haber un nuevo ordinal mayor
que todos ellos; pero, ¿cómo puede haber un nuevo ordinal si la
sucesión ya contenía a todos los ordinales? Esto es una contradic-
ción lógica, una paradoja que Cantor descubrió en 1882.
Para solucionar la contradicción, en el artículo de 1883 Can-
tor introdujo un tercer principio de generación de ordinales, que
dice básicamente que el segundo principio no se puede aplicar a la
sucesión completa de todos los ordinales. En definitiva, un parche
que solucionaba el problema de la paradoja.
La existencia de contradicciones lógicas en una teoría mate-
mática es siempre una mala noticia, porque indica que esta tiene
un fallo en sus cimientos; y aunque la paradoja pueda ser solucio-
nada, como hizo Cantor al agregar su tercer principio, su aparición
constituye una llamada de alerta. Pero Cantor no se preocupó por
la paradoja; más bien, podríamos decir que la recibió con alivio
y alegría.
En el primer capítulo vimos que san Agustín, y como él mu-
chos otros teólogos, entendían que el infinito era un atributo
exclusivamente divino y que pretender que la mente humana es
capaz de abarcarlo constituía una herejía. Esta idea pesaba mucho
en el ánimo de Cantor, que siempre había sido una persona muy
religiosa; pero la paradoja, según él entendía, lo liberaba final-
mente de esa carga, de esa implícita acusación de hereje.
Cantor concibió la idea de que el infinito estaba dividido en
dos niveles, el nivel inferior correspondía a lo transfinito y abar-
caba el cortjunto de los naturales, el de los reales, los ordinales de
las clases I, II, III, ... y en general todos los conceptos de los que
hablaba su teoría, pero no el cortjunto de todos los ordinales. Este
cortjunto caía en el nivel absoluto del infinito, el nivel superior
reservado a la divinidad.

LOS ORDINALES INFINITOS 115