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p1incipio dice que dada cualquier sucesión de ordinales, siempre
hay un ordinal que es el inmediatamente siguiente a todos ellos.
El primer ordinal es el número O; su sucesor, desde luego, es
el 1; luego vienen el 2, el 3, y así sucesivamente. Los números O, 1,
2, 3, ... son los ordinales finitos o, como decía Cantor, los ordinales
de clase I.
El segundo principio de generación nos dice que después de
la sucesión O, 1, 2, 3, 4, ... hay un ordinal que sigue inmediata-
mente a todos ellos; este es el ordinal w, el primer ordinal infinito.
Después vienen w + 1, w + 2, w + 3, ... ; y aplicando otra vez el se-
gundo principio de generación, después de esta nueva sucesión
viene otro ordinal, que es w+w; y después de él vienen w + w + 1,
w+w+2, ...
En resumen, la cuenta de los ordinales comienza de la si-
guiente manera: O, 1, 2, 3, ... , w, w+ 1, w+2, ... , w+w+ 1, w+w +2, .. . ,
w + w + w + 1, ... , y en todos los casos los puntos suspensivos repre-
sentan una cantidad infinita de términos.
Volvamos al ordinal w y pensemos ahora en el conjunto de
todos sus predecesores, es decir, en el conjunto de todos los ordi-
nales que son menores que él. Este conjunto está formado por los
números O, 1, 2, 3, .. . y, como es numerable, Cantor dice que w es
un ordinal de clase II. Los ordinales de clase I tienen un conjunto
finito de predecesores, los de clase II tienen un conjunto numera-
ble de predecesores.
El ordinal w + 1, por ejemplo, también es de clase II porque
sus predecesores son O, 1, 2, 3, ... , w, que forman un conjunto
numerable. Los ordinales w, w+l, w+2, ... , w+w+l, w+w +2, ... ,
w + w + w + 1, ... son todos· de clase II.
Pero pensemos ahora en la sucesión de todos los ordinales
de clase II; por el segundo principio de generación, existe un or-
dinal que sigue inmediatamente a todos ellos. Este ordinal suele
indicarse con el símbolo Q, que es la letra omega mayúscula. La
pregunta es: ¿a qué clase pertenece Q?
En el artículo de 1883, Cantor pudo demostrar que todos los
predecesores de Q, es decir, las clases I y II, forman un conjunto
no numerable; Q no es, por lo tanto, de clase II; de hecho, Q es el
primer ordinal de clase III. Pero más importante todavía, Cantor

112 LOS ORDINALES INFINITOS