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acercando a él tanto como se quiera. En resumen, cualquier número
real puede aproximarse por sucesiones de racionales ( que es, en
esencia, la solución de Cantor para el problema del continuo).
Si Pes un conjunto cualquiera de números, Cantor llamó con-
junto derivado de Pala colección de todos los números que pue-
den aproximarse mediante sucesiones formadas por elementos
de P; al conjunto derivado de P lo indicó como P'. Si llamamos
Q al conjunto de los números racionales, el ejemplo anterior nos
muestra que Q' = IR, donde IR designa al conjunto de todos los nú-
meros reales.
En sus artículos de comienzos de la década de 1870, Cantor
planteó la definición de conjunto derivado en términos de infini-
tos potenciales. Sin embargo, la misma escritura Q' nos remite
inmediatamente a un infinito en acto, dado que Q es la colección
de todos los números racionales. Por otra parte, como ya obser-
vamos, la definición de Q' nos conduce a las sucesiones y a la
definición de los números reales. Vemos así cómo el problema de
las series trigonométricas guió a Cantor hacia los que serían los
dos ejes fundamentales de sus investigaciones matemáticas pos-
teriores: el infinito en acto y el problema del continuo.

LA CONDICIÓN DE UNICIDAD

Tomemos ahora el conjunto P formado únicamente por los núme-
ros O, 1 y 2; el conjunto P' contiene, según la definición de Cantor,
a todos los números que se puedan aproximar mediante sucesio-
nes formadas por infinitos elementos de P, todos diferentes entre
sí. Pero es obvio que no hay infinitos elementos de P todos dife-
rentes entre sí, porque P tiene solo tres elementos.
Como es imposible formar ni siquiera una sola sucesión de
elementos de P, entonces en P' no hay nada; en esa situación,
Cantor decía que P' se anula. En la terminología moderna de la
teoría de conjuntos se diría que P' es el conjunto vacío, el que no
tiene miembros, pero nosotros conservaremos la expresión origi-
nal de .Cantor.

LOS ORDINALES INFINITOS 107