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la intensidad nula, o el silencio. Veamos cómo se interpreta el
gráfico bajo estas condiciones. Al principio estamos en silencio y
enseguida una señal sonora comienza a aumentar gradualmente
de intensidad ( esto se ve en que la primera línea oblicua sube); el
sonido llega a su intensidad máxima y cae el silencio, pero inme-
diatamente el sonido comienza a subir de intensidad exactamente
igual que antes, hasta llegar una vez más al mismo nivel máximo
de intensidad ( esto se ve en que la segunda línea oblicua sube
igual que la primera); cae otra vez el silencio, y el mismo esquema
vuelve a repetirse una y otra vez.
A principios del siglo XIX, el matemático francés Joseph
Fourier (1768-1830) desarrolló un método que le permitía escri-
bir cualquier gráfico periódico como la suma de ciertas curvas
específicas muy sencillas, curvas que se describen matemática-
mente mediante fórmulas llamadasfunciones trigonométricas.
Estas sumas, a su vez, acostumbran a involucrar una cantidad
infinita (en potencia) de curvas, y como en matemáticas a las
sumas infinitas se las suele llamar series, el método recibe

decir, el resultado del paréntesis sigue siendo S. Tenemos así que 1- 5 = S,
de donde deducimos que 5 vale 1/2. Pero también podemos agrupar de la
siguiente manera:
1-1 +l-1 +1-... =(1-1)+(1-1)+(1-l)+ ... = 0+0+0+ ... =0.

El cálculo entonces daría cero como resultado. O también podemos agrupar
así:

1- 1 +1-1 +1- ... =1-(1-1)-(1-1)-... =1-0-0- ... =1,
por lo que el resultado sería l. ¿cuál es entonces el resultado correcto, 1/2, O
o 1? Paradojas como esta preocuparon durante décadas a los matemáticos,
hasta que, finalmente, en el siglo x1x se descubrieron las reglas correctas para
operar con sumas o restas infinitas. La respuesta al dilema es que el cálculo
1 - 1 + 1 - 1 + 1-... no da ningún resultado. En otras palabras, su supuesto resultado
en realidad no existe. El razonamiento de Leibniz falla, precisamente, porque
5 no es una cantidad existente.

LOS ORDINALES INFINITOS 103