Page 109 - 30 Cantor

formada por los números O, 1 y 2; en ese caso, P", que es el deri-
vado de P', se anula. Aquí, la anulación se produce en P' ', pero hay
otros casos donde sucede enP', otros donde sucede enPCl, otros
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donde ocurre en p ci, y así sucesivamente. Desde luego, para (Ql el
proceso jamás se anula, porque en todos los pasos obtenemos el
conjunto IR de los números reales.
La condición de unicidad que encontró Cantor es la siguiente:
si P es el conjunto de las abscisas de los puntos de discontinuidad
de un gráfico periódico, para que su descomposición en serie tri-
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gonométrica sea única basta con que el procesoP', P'', p Cl, p Cl, ...
acabe por anularse en algún momento. De esta manera, Cantor
logró expresar de un modo claro y preciso la condición que ase-
gura la unicidad de la descomposición en serie de Fourier y resol-
vió así el problema que le había propuesto Reine en 1869.

HACIA EL INFINITO

Como ya hemos citado anteriormente, en la década de 1860
Reine había demostrado que si un gráfico periódico no tiene dis-
continuidades, entonces su descomposición es única. De hecho,
Reine también había probado que la descomposición era única
si en cada período había solo una cantidad finita de discontinui-
dades. La solución de Cantor abarca estos dos resultados y los
extiende al caso en que hay infinitas discontinuidades en cada
período.
Por lo tanto, si no hay discontinuidades, entonces hay unici-
dad; si hay solo una cantidad finita de discontinuidades en cada
período, entonces también hay unicidad. En la misma línea, Can-
tor conjeturaba que su resultado debería poder enunciarse más
o menos como sigue: «si en cada período hay infinitas disconti-
nuidades, pero "pocas", entonces hay unicidad». «Infinitas, pero
pocas» parece una frase contradictoria, pero no para Cantor, por-
que para él «infinito pero poco» venía a significar «infinito nun1e-
rable»; es decir, infinitas pero con un cardinal menor al de todos
los números reales.

LOS ORDINALES INFINITOS 109