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lencia había sido la geometría clásica griega; pero no solamente
eso, sino que se entendía que el modo más claro de pensar las no-
ciones matemáticas era viéndolas como conceptos geométricos.
Un número, por ejemplo, especialmente un número irracional, se
veía como un segmento y las operaciones numéricas se entendían
como construcciones; por mostrar un ejemplo de los muchos po-
sibles, en su libro Reglas para la dirección de la mente, escrito
en la década de 1620, René Descartes explica que multiplicar dos
números - es decir, dos segmentos- consiste básicamente en
construir el rectángulo que tiene a esos dos segmentos por lados;
notemos que Descartes no dice, tal como pensaríamos hoy en día,
que el producto de los lados nos pemtite calcular el área del rec-
tángulo. Él dice que el rectángulo es el producto de los dos núme-
ros; los conceptos y operaciones er~ pensados como objetos y
construcciones de naturaleza geométrica.

«Del paraíso que Cantor creó para nosotros nadie podrá
expulsarnos.»
- DAVID HILBERT (1862-1943), MATEMÁTICO ALEMÁN,

Este dominio de la geometría fue desapareciendo de manera
gradual a lo largo del siglo XIX, durante el proceso conocido como
«aritmetización del cálculo» (véase el capítulo 3). Como resul-
tado de este proceso, los conceptos matemáticos, sobre todo los
conceptos del cálculo, dejaron de pensarse geométricamente y
pasaron a basarse exclusivamente en los números. Pero si los nú-
meros ya no eran pensados como segmentos, ¿qué eran entonces?
Algunos matemáticos, entre ellos Richard Dedekind, vieron una
respuesta a esta pregunta en la teoría de conjuntos; si las defini-
ciones de los números y sus operaciones ya no podían apoyarse
en conceptos geométricos, pensó Dedekind, entonces podrían ba-
sarse en nociones conjuntistas.
Como vimos en el capítulo anterior, en 1872 Dedekind ya
había usado conceptos conjuntistas para definir a los números
reales, pero esta definición presuponía la existencia de los racio-
nales, que a su vez se definen en base a los números natur_ales.

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