Page 127 - 30 Cantor

-----------------------------, Cada vez que
agregamos toda
una clase de
Ordinales de clase 1 nuevos ordinales,
(números naturales) pasamos al
cardinal inmediato
siguiente.
Ordinales de clase 11

Ordinales de clase 111 ---+----su cardinal es K 2

tenemos un conjunto de cardinal X y así sucesivamente (véase
21
el esquema).

«El diámetro del Aleph sería de dos o tres centímetros, pero el
espacio cósmico estaba ahí, sin disminución de tamaño.»

- DEL CUENTO EL ALEPH, DE JORGE LUIS BORGES.

Con esta nueva notación, el problema de saber si la hipótesis
del continuo es verdadera -es decir, si es correcta la conjetura
de Cantor de que no existe un cardinal intermedio entre el de los
naturales y el de los reales- se transforma en la pregunta de si el
cardinal de los reales es igual a X (notemos que el menor cardi-
1
nal infinito es X y que X es el inmediato siguiente a él; sabemos
O I

iCUÁNTOS ÁLEF EXISTEN?

La secuencia de los álef comienza con K , K , K , ... Pero, ¿cuántos álef hay?
0 1 2
¿Hay uno por cada número natural y, en consecuencia, son numerables? En
realidad, los subíndices son ordinales. Después de los infinitos Kn donde n
recorre todos números naturales, vienen Kw, Kw.,• K 00 .,, ... , K 00 • 00 , Xw+w+J''" Y así
sucesivamente. La respuesta a la pregunta es. entonces, que hay tantos car-
dinales infinitos como ordinales (incluyendo entre estos a los ordinales de
todas las clases).
-

LOS ÁLEF 127