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PRODUCTO DE CARDINALES

Dentro de la aritmética transfinita, además de la suma, puede definirse el
producto de cardina les; para esta definición se apela al llamado producto
cartesiano de conjuntos. Si A y B son dos conjuntos cua lesquiera, su pro-
ducto cartesiano. que se escribe Ax B. se define como el conjunto formado
por todos los pares cuyos primeros miembros son elementos de A y cuyos
segundos miembros son elementos de B. Tal como es muy habitual en los
textos de teoría de conjuntos. al par formado, por ejemplo, por los números
1 y 2 lo indicaremos como (1,2). Es importante hacer notar que el orden en
que se escriben los elementos es relevante ya que, por ejemplo, no es lo
mismo el par (1,2) que el par (2,1); es por esa razón que en este contexto
suele hablarse de pares ordenados. De esta forma, si A es el conjunto for-
mado por los números O y 1, mientras que B es el conjunto formado por
los números 2, 3 y 4, entonces Ax B es el conjunto formado por los pares
(0,2), (0,3), (0,4), (1,2), (1,3), (1,4). Nótese que A tiene card inal 2; B tiene
card inal 3; mientras que Ax B tiene cardinal 6. Tal como queda sugerido en
el ejemplo anterior, el producto del cardinal de A por el cardina l de B se
define como el cardina l de Ax B (a diferencia de lo que sucede con la suma,
no hay ningún inconveniente en que los conjuntos A y B tengan elementos
en común). ¿cuánto es, por ejemp lo, K · K ? Si tomamos el conjunto N de
0 0
los números naturales (cuyo card inal, como sabemos, es K ), la definición
0
anterior nos dice que K · K es el cardi nal de N x N (el conjunto de todos
0 0

En realidad, puede probarse que si se suma dos veces un
mismo cardinal infinito el resultado es otra vez ese mismo cardi-
nal ( como en el caso de X + X = X ), y que si se suman dos cardi-
O O 0
nales infinitos diferentes, entonces el resultado es el mayor de los
dos ( como X + X = X¡). En consecuencia, por ejemplo, podemos
O 1
afirmar que X + X = X y que X + X = X .
1 1 1 1 2 2

CONJUNTOS DE CONJUNTOS

Nuestra intención es hablar de otra operación de la aritmética
transfinita, pero antes será necesario introducir algunos conceptos.
Como decíamos en el capítulo anterior, un conjunto debe pen-

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