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además que el cardinal de los reales no es X , porque los reales no
0
son numerables; por lo tanto, si el cardinal de los reales no es X ,
1
entonces la única alternativa es que sea mayor que él).

ARITMÉTICA TRANSFINITA

En sus «Contribuciones», Cantor retoma el trabajo de Dedekind
de 1887, aunque sin hacer mención explícita de él, y tal como hizo
Dedekind, entiende a los números naturales como los cardinales
de los conjuntos finitos, y define su suma mediante la operación de
unión. Pero Cantor, además, extiende esta idea a los cardinales
infinitos y es así como establece la que él denomina, y es así como
se llan1a todavía hoy, una aritmética transfinita.
Veamos algunos ejemplos de operaciones de esta aritmética
transfinita. Comencemos por recordar que, desde el punto de vista
conjuntista, el hecho de que 1 + 1 sea igual a 2 significa que si uni-
mos dos conjuntos diferentes, ambos de cardinal 1, obtenemos
un conjunto de cardinal 2. Otra forma de expresarlo es diciendo
que si a un conjunto de cardinal l le agregamos un objeto nuevo,
obtenemos como resultado un conjunto de cardinal 2. Siguiendo
la misma idea, si, por ejemplo, a los números naturales ( que tienen
cardinal l-< ) les agregamos el número - 1, obtenemos el conjunto
0
- 1, O, 1, 2, 3, 4, ... , que es coordinable con los naturales y, por
lo tanto, tiene también cardinal l-< (recordemos que si dos con-
0
juntos son coordinables, entonces tienen el mismo cardinal). En
resumen, al agregar un objeto nuevo a un conjunto de cardinal l-\
0
obtenemos otro conjunto de cardinal X ; en términos de la aritmé-
0
tica transfinita, esto nos dice que X + 1 = X (figura 3).
O O
De manera similar, puede probarse que si a un conjunto de
cardinal l-\ le agregamos dos objetos, obtenemos nuevamente
0
un conjunto de cardinal X , es decir, X + 2 = X ; y también vale
0 O 0
que X + 3 = X , que X + 4 = X , y así sucesivamente para todos los
O 0 O 0
números naturales. En definitiva, estas igualdades nos están di-
ciendo que si a un conjunto numerable le agregamos una cantidad
finita de objetos volvemos a obtener un conjunto numerable.

128 LOS ÁLEF