Page 129 - 30 Cantor

FIG. 3
Elca,dloaldelcoo:7
º· 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... u -1 -1, O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... formado por -1, O, jl~;'.~ 1
es No+ 1

O 1 2 3 4 5 6 7 8 9
! ! ! l ! ! ! ! ¡ ! coord inables entonces
Como los dos conjuntos son
~ O 1 2 3 4 5 6 7 8 No= N 0 + 1

FIG. 4
Ordinales de clase I u Ordinales de clase 11 Ordinales de clase I y 11

No No+ N1

Como los ordinales de clases I y 11 todos juntos tienen
cardinal N 1 entonces No + N 1 = N1

¿ Qué ocurre con X + X ? En otras palabras, ¿qué cardinal obte-
O O
nemos si unimos dos conjuntos numerables? En el capítulo anterior
dijimos que en sus «Contribuciones», Cantor demuestra que la unión
de dos cortjuntos numerables es también un cortjunto numerable;
un ejemplo está dado por la unión de los naturales con el cortjunto
formado por los números negativos -1, - 2, -3, -4, ... , que da como
resultado a los enteros. Podemos decir entonces que X + X = X •
O O 0
Veamos un último ejemplo; ya se ha expuesto que el cortjunto
de los ordinales de clase I ( que son los naturales) tiene cardinal
X y que si agregamos los ordinales de clase II ( que comienzan
O
con w, w+l, w+2, ... ) obtenernos un cortjunto de cardinal X ;
1
pero Cantor además demostró que el cortjunto de los ordinales de
clase II por sí solo también tiene cardinal X . En resun1en, si a un
1
cortjunto de cardinal X (los ordinales de clase II por sí solos) le
1
agregamos un cortjunto de cardinal X (los ordinales de clase I),
O
obtenernos un cortjunto de cardinal X (los ordinales de clase I y
1
II todos juntos); en términos de la ruitmética transfinita, esto nos
dice que X + X = X (figura 4).
0 1 1

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