Page 135 - 30 Cantor
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ceros y unos no es numerable; por lo tanto, '.P(N) tampoco lo es.
Para probarlo, Cantor utiliza el argumento diagonal, el mismo que
usamos en el capítulo 2 para mostrar que IR, el conjunto de todos
los reales, no es numerable. En realidad, como ya comentan1os en
aquella ocasión, el argumento diagonal apareció por primera vez
en este trabajo de 1892; la demostración que Cantor hizo en 1874
del hecho de que IR no es numerable seguía ideas diferentes y se
basaba en su definición de los reales.
La demostración de que '.P(N) no es numerable repite exac-
tamente el mismo razonamiento que mostramos en el capítulo 2
para los reales, por lo que no la reiteraremos aquí. Sí vale la pena
aclarar que el hecho de demostrar que '.P(N) y IR no son numera-
bles, aun cuando en ambos casos se use el mismo razonamiento,
no nos garantiza que los dos conjuntos tengan el mismo cardi-
nal. El argumento diagonal demuestra en realidad un resultado
negativo, nos permite asegurar que ni IR ni '.P(N) tienen cardinal
~ , pero no nos dice qué cardinal tiene cada uno de ellos ni nos
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permite deducir que an1bos cardinales sean iguales.
Ahora bien, el segundo hecho que Cantor demuestra en su
aitículo de 1892 es que, después de todo, '.P(N) y IR sí tienen el
mismo cardinal pero, insistimos, este hecho requiere una demos-
tración, no se deduce del argumento diagonal. Hay que probar
entonces que IR y '.P(N) son coordinables o, lo que es lo mismo, que
IR es coordinable con el conjunto de todas las secuencias infinitas
de ceros y unos.
Para probarlo, empecemos por recordar que el modo en que
habitualmente anotamos los números naturales se llama escri-
tura en base 1 O, porque usa diez cifras y además se basa fuer-
temente en las potencias del número 10; por ejemplo, cuando
escribimos el número 235, estamos escribiendo en realidad
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2 • 10 + 3 • 10 + 5 -10º (recordemos que 10 = 10 y que 10º = 1). Algo
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similar sucede con los números que no son enteros, solo que
en ese caso intervienen potencias de exponente negativo, tales
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como 10- , que es igual a 0,1; 10- , que es igual a 0,01; y así su-
cesivamente. Por ejemplo, cuando escribimos O, 76, estamos es-
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cribiendo en realidad 7 • 10- + 6. 10- • Es interesante mencionar
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que los números con infinitas cifras decimales, como 0,3333 ... ,
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