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y unos -dice Cantor- , estarnos cubriendo cada elemento de N
con un O o con un 1:

1 o, 1 . 1 . 1 , o,
J º·
L.. ..J º-J. ,..J .J ...
Preguntarnos por el cardinal del conjunto de todas las se-
cuencia infinitas de ceros y unos es hacerlo por todos los modos
posibles de cubrir a N usando dos elementos. Todos los modos de
cubrir a los números O, 1 y 2 usando dos elementos es 2 , todos los
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modos de cubrir a los números O, 1, 2 y 3 usando dos elementos
es 24; entonces, por definición, según Cantor, el cardinal de todos
los modos de cubrir a N con dos elementos es 2x • Y como el con-
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junto de todas las secuencias de ceros y unos es coordinable con
IR, concluimos entonces que el cardinal de IR es también t·\ por
lo tanto, otro modo de enunciar el problema de la hipótesis del
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continuo es con la pregunta: ¿será 2i,; igual a X ?
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Observemos ahora que si estuviéran10s cubriendo a N con
tres elementos obtendrian1os el cardinal 3xº; en otras palabras, el
conjunto de todas las secuencias infinitas de ceros, unos y doses
tiene cardinal 3i,; • Pero no hay que confundirse. A primera vista
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podriamos pensar que 3xo es mayor que 2x ; sin embargo, no es así,
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en realidad 2x = 3x • Para probarlo, basta ver que el conjunto de
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las secuencias de ceros y unos es coordinable con el conjunto
de las secuencias de ceros, unos y doses; la idea que hay detrás de
esta demostración es que, así como las secuencias de ceros y unos
pueden verse, en esencia, como números escritos en base 2, de
la misma forn1a las secuencias de ceros, unos y doses pueden
verse como números escritos en base 3. La correspondencia entre
ambos conjuntos se obtiene entonces mediante un cambio de
base.
Tomando la definición de la potencia de cardinales podemos
decir que, dado que el cardinal de los ordinales de clase II es X ,
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entonces para esos ordinales hay 2x, cubrimientos posibles; y aun-
que parece obvio que 2x, sí es mayor que 2x , este hecho aún no ha
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podido ser demostrado. Es interesante destacar que la afirmación
2:-:, es mayor que 2i,; realmente necesita ser demostrada, no pode-
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