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que el de los naturales. Según vimos en el capítulo anterior, los
ordinales de clase II comienzan con w, w + 1, w + 2, ... , tras infinitos
pasos viene w + w, w + w + 1, w + w + 2, ... y tras infinitos pasos viene
w+w+w, ... y tras infinitas veces infinitos pasos viene w + w + w + w ...
(infinitas veces w ), w + w + w + w ... (infinitas veces w) + 1, ... , y así
sucesivamente.
De modo que si decimos de un cubrimiento de los ordinales
de clase II que «comienza con 01 y después sigue repitiendo esas
dos mismas cifras», esa definición solo nos dirá cómo proceder
con la primera parte de la secuencia w, w + 1, w + 2, ... Al saltar a
w + w tenemos que indicar el modo de recomenzar el cubrimiento,
que puede ser otra vez con 01 o de cualquier otro modo; y otra
vez tendremos que indicar un comienzo al llegar a w + w + w, y
otra vez en w + w + w + w, y así sucesivamente. Si todas las veces
decidimos recomenzar con 01, el cubrimiento resultante podría
visualizarse como el cubrimiento «básico» de N 010101 ... repetido
una y otra vez una cantidad no numerable de veces.

LA PARADOJA DE CANTOR

El conjunto P(N) tiene como miembros a todos los conjuntos que
se pueden formar con elementos de N; esta idea, por supuesto,
puede generalizarse. SiA es un conjunto cualquiera, se llama P(A),
que se lee «partes de A», al conjunto que tiene como miembros a
todos los conjuntos que se pueden formar con elementos de A. Y así
como P(N) tiene cardinal 2:-; , de la misma manera puede probarse
0
que P(A) tiene cardinal «2 elevado al cardinal de A». Si la hipótesis
del continuo fuera cierta, entonces el cardinal de POR) sería 2:-;'.
Sabemos que N es nun1erable y que P(N) no lo es; en otras
palabras: P(N) tiene un cardinal que es mayor que el de N. Esto
también puede generalizarse; en efecto, el llamado teorema de
Cantor afinna que P(A) tiene siempre un cardinal mayor que A.
Una consecuencia del teorema de Cantor es que para cual-
quier conjunto existe siempre otro de cardinal mayor. En el ca-
pítulo anterior y, unas páginas antes en este mismo capítulo,

140 LOS ÁLEF