Page 136 - 30 Cantor

se traducen en series, es decir, en sumas infinitas; en efecto
1
2
0,333 ... = 3. 10- + 3. 10- + 3. 10--3+ 3. 10-4+ ...
Aunque la esclitura en base 10 es la más usada, no es la única
posible; por ejemplo, los números pueden esclibirse en base 2,
también llamada escritura binaria. Esta base, como su nombre
indica, usa solamente dos cifras, O y 1, y se apoya en las potencias
de 2. Como muestra, el número 13 en base 2 se escribe 1101 por-
2
1
3
que 13 = 1- 2 + 1-2 + 0-2 + 1-2º. E igual que en el caso anterior,
esta escritura se extiende a números no enteros; por ejemplo, en
base 2 el número 0,333 ... se escribe 0,01010101... porque la suma
1
2
5
infinita O• 2- + 1- 2- + O• 2--3 + 1 . 2-4 +O• 2- + 1 . 2-6 da como resultado
0,333 .. .' ( este último escrito en base 10).
«Las nociones de la teoría de conjuntos son instrumentos
conocidos e indispensables.»
- JACQUES IIADAMARD, MATEMÁTICO FRANCÉS (1865-1963), EN UNA CONFERENCIA DICTADA
EN 1897.

Vamos a probar ahora que el conjunto de todos los números
reales entre O y 1, que es un segmento de la recta numérica, es
coordinable con '.P(N); es decir, debemos lograr que cada número
entre O y 1 quede asociado exactamente con un conjunto de núme-
ros naturales. Para mostrarlo, tomemos el número 0,333 ... ¿Cómo
hallamos el conjunto que le corresponde? Como se muestra en el
esquema, primero escribimos el número en base 2 y obtenemos
así la expresión 0,01010101.. .; de esa expresión nos quedamos con
la secuencia de cifras detrás de la coma, en este caso 010101.. .
y vemos qué conjunto le corresponde a esa secuencia. Como el
conjunto es el de los números impares, entonces al 0,333 ... le co-
rresponde ese conjunto.

Correspondencia
uno-a-uno entre Número real Número real Secuencia de Conjunto formado por
números reales en base 10 en base 2 ceros y unos números naturales
(ubicados entre
O y 1) y conjuntos 0,33333... +-+ 0,01010101... +-+ 01010101... +-+ {1, 3, 5, 7, 9, ... }
formados por
números 0,1875 +-+ 0,001100000 ... +-+ 001100000 ... +-+ {2,3}
naturales.

136 LOS ÁLEF