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un elemento nuevo a un cierto conjunto, entonces la cantidad total
de elementos debe aumentar; en can1bio, X + 1 = X nos dice que, en
O O
el caso del infinito, la cantidad sigue siendo la misma. Pero, aunque
sorprendente, la igualdad X + 1 = X no es una paradoja en el sen-
O O
tido lógico del término, porque no implica genuinamente una contra-
dicción lógica, solo nos dice que las reglas que rigen a las cantidades
infinitas son diferentes de las que rigen a las cantidades finitas.
En este libro estamos usando la palabra «paradoja» siempre en
el primer sentido, refiriéndonos a la existencia de una incoherencia
lógica en una teoría. Hecha esta aclaración, volvamos a la paradoja
que encontró Cantor en 1883 y recordemos brevemente en qué con-
siste. La secuencia de los ordinales -dice Cantor- está generada
a partir de dos p1incipios. El p1in1ero afmna que cada ordinal tiene
un sucesor inmediato; este es el principio, por ejemplo, que nos
asegura que inmediatamente después de co viene el ordinal co + l.

«Los conjuntos infinitos tienen algunas propiedades curiosas,
que a veces han sido llamadas paradójicas. En realidad no son
paradójicas, solo son algo sorprendentes cuando se las
considera por primera vez.»
- RAYMOND SMULLYAN, LÓGICO NORTEAMERICANO, EN SATÁN, CANTOR Y EL INFINITO (1992).

El segundo principio dice que, dada cualquier secuencia infinita
de ordinales, siempre hay otro ordinal que es el que sigue inmediata-
mente a todos ellos y que, en particular, no pertenece a esa secuencia
Este principio nos garantiza, por ejemplo, que después de la sucesión
infinita O, 1, 2, 3, 4, ... viene el nuevo ordinal co, y que después de la
sucesión infinita co, co + 1, co + 2, co + 3, ... viene el nuevo ordinal co + co.
La paradoja aparece cuando intentamos aplicar el segundo
principio de generación a la secuencia formada por todos los ordi-
nales, llan1émosla C. En efecto, el segundo principio expone que si
toman1os la secuencia C de todos los ordinales, entonces existe un
nuevo ordinal que viene después de todos ellos, y que no aparece
en C; llamemos O (la letra griega ómicron) a este nuevo ordinal.
Pero O es también en sí mismo un ordinal, y C contiene a todos los

146 LAS PARADOJAS DEL INFINITO