Page 147 - 30 Cantor

o es un ordinal y entonces
pertenece a la secuencia de
todos los ordinales.
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Secuencia de todos los ordinales o Estas dos afirmaciones se
contradicen mutuamente.
r I

1 o es un nuevo ordinal y no
pertenece a la secuencia.
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ordinales, por lo tanto O aparece en C, pero a la vez acabamos de Representación
esquemática de
decir que no aparece; de modo que hemos probado que O tiene dos la paradoja
propiedades que se contradicen, no aparece en C, pero a la vez sí de los ordinales.
aparece; hemos encontrado así una paradoja (véase el esquema).
Como dijimos en el capítulo 4, para solucionar este problema
Cantor introdujo un tercer principio de generación, una tercera
regla según la cual el segundo principio no es aplicable a la se-
cuencia completa de todos los ordinales. En otras palabras, Can-
tor decretó que O no existe.
Aunque en efecto esta tercera regla soluciona la paradoja, no
parece ser por sí sola una solución satisfactoria; para expresarlo
con una metáfora, estamos dándole al paciente un analgésico que
calma su dolor, pero sin buscar las causas reales de su enferme-
dad. Para encontrar una solución genuina necesitamos saber cuál
es la enfermedad que provoca el dolor; o sea, es necesario saber
cuál es el fallo básico de la teoría que produce la paradoja.
Para Cantor, la causa profunda de la paradoja radica en la
necesidad de hacer la distinción -que él introdujo en su artículo
de 1883- entre lo transfinito y el infinito absoluto. Según Cantor,
dentro del dominio de lo transfinito caen todos los conjuntos in-
finitos que la mente humana puede conocer y con los que puede
operar, como por ejemplo el conjunto de los números reales o el
conjunto de los ordinales de clase I, clase II, clase III o de cual-
quier otra clase específica. En el dominio de lo absoluto, en cam-

LAS PARADOJAS DEL INFINITO 147