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UNA SOLUCIÓN PARA LA HIPÓTESIS DEL CONTINUO

A pesar del éxito de ZF, a lo largo del siglo xx se propusieron otros
sistemas de axiomas para la teoría de conjuntos, sistemas que
suelen ser mencionados usando las iniciales de quienes los formu-
laron por primera vez. Tenemos así, por ejemplo, el sistema NBG,
por John von Neumann, Paul Bernays y Kurt Godel; o el sistema
MK, por Robert Lee Morse y John L. Kelley.
Estos distintos sistemas de axiomas no son equivalentes
entre sí. Es decir, no son meramente distintas formulaciones de
la misma idea, sino que hay entre ellos diferencias esenciales; en
particular, no todos los sistemas ofrecen la misma solución para
las paradojas. Y aunque ZF es el sistema de axiomas más usado
-en parte por ser el más sencillo-, los otros tienen también sus
grupos de defensores.
Por razones de espacio, es imposible detallar aquí la solución
que cada sistema ofrece para las paradojas, pero sí podemos
decir que en todos los casos, o bien -como en el caso de ZF - se
demuestra que los conjuntos que Cantor llamaba «inaccesibles»
no existen, o bien -este es el caso de NBG y MK- se admite que
los conjuntos «inaccesibles» sí existen, pero se demuestra que,
como decía Cantor, cumplen reglas que son diferentes que las de
los demás conjuntos.
Es decir, la moderna teoría de conjuntos reivihdica la idea
de Cantor de que la solución de las paradojas pasa por hacer una
distinción entre los conjuntos «accesibles» y los «inaccesibles».
Ahora bien, ¿todo esto significa que existen diferentes teorías
de conjuntos? Y en definitiva, ¿los conjuntos inaccesibles exis-
ten o no? Estas preguntas todavía hoy no tienen una respuesta
que convenza unánimemente a todos los matemáticos; a grandes
rasgos, hay dos posturas que suelen adoptarse en torno a estas
cuestiones, llamadas platonismo y formalismo.
¿Qué es el platonismo? El platonismo sostiene que los objetos
matemáticos tienen una existencia objetiva que es independiente
de la mente humana, y que el trabajo de los matemáticos con-
siste básicamente en descubrir las características de esos objetos.
Según esta postura, hay una única teoría de conjuntos verdadera;

LAS PARADOJAS DEL INFINITO 165