Page 162 - 30 Cantor

parece obvia, y si una afirmación en apariencia tan inocente resul-
taba ser contradictoria, ¿qué riesgos ocultos podía haber en otros
axiomas o suposiciones que, de manera implícita o explícita, los
matemáticos verúan usando confiadamente en sus razonamientos?
La crisis provocada por la paradoja de Russell excedió el
marco de la teoría de conjuntos, dado que los matemáticos se
cuestionaron la validez de todos sus razonamientos y llegaron a
preguntarse incluso qué estudiaban realmente las matemáticas.
Esta crisis tan profunda es conocida hoy en día como la «crisis de
los fundamentos» y provocó discusiones, a veces acaloradas, que
se extendieron a lo largo de casi treinta años. Esta amplitud en
el tiempo, y la ya mencionada amplitud de los temas discutidos,
impiden que podamos hablar aquí de todas las ramificaciones y
consecuencias de esta crisis; nos limitaremos específicamente a
explicar cómo estas discusiones afectaron la cuestión de las pa-
radojas de la teoría de conjuntos.

LA SOLUCIÓN

A principios del siglo xx eran muchos los matemáticos que creían
que para resolver el problema de las paradojas de la teoría de con-
juntos bastaba con dar una formulación adecuada de sus axiomas;
el primero en proponer una solución viable en ese sentido, en el
año 1908, fue el matemático alemán Emst Zermelo (1871-1953).
El sistema de axiomas de Zem1elo fue perfeccionado en 1919
por el también matemático alemán Abraham Fraenkel (1891-
1965), quien agregó algunos axiomas que eran necesarios y que
Zermelo no había tomado en cuenta; es por eso que en la actua-
lidad se habla de los «axiomas de Zem1elo-Fraenkel», expresión
que en la literatura especializada en teoría de conjuntos suele
abreviarse simplemente como ZF. Estos axiomas constituyen
hoy en día la fommlación estándar de la teoría de conjuntos y
permiten solucionar todas las paradojas conocidas. La aclaración
de «conocidas» se debe a que el matemático checo Kurt Godel
(1906-1978) demostró que no hay modo infalible de garantizar que

162 LAS PARADOJAS DEL INFINITO