Page 158 - 30 Cantor

Ahora bien - dice Russell- , según el axioma de Frege, a la
propiedad de «ser un conjunto que no es miembro de sí mismo» le
corresponde un conjunto, al que llamaremos F, que está formado
por todos los conjuntos que cumplen la propiedad de no ser miem-
bros de sí mismos. La pregunta es: ¿Fes miembro de sí mismo?
Si F fuera miembro de sí mismo, entonces, como todo miem-
bro, cumpliría la propiedad que define al conjunto; por lo tanto, F
no sería miembro de sí mismo. Esto es una contradicción, porque
partimos de una suposición y llegamos a la conclusión opuesta.
Deducimos entonces que la suposición inicial no puede ser verda-
dera; es decir, F no es miembro de sí mismo.
Pero si F no es miembro de sí mismo, entonces no cumple
la propiedad que define a F; por lo tanto, sí sería miembro de sí
mismo. Tenemos otra contradicción (véase el esquema).
En resumen, F no puede ser miembro de sí mismo, pero tam-
poco puede dejar de serlo; esto es una imposibilidad lógica. El
conjunto F, cuya existencia está garantizada por el axioma de
Esquema de la comprensión, no puede existir porque su existencia genera una
paradoja de
Russell. Las contradicción lógica. Por lo tanto, el axioma de comprensión, que
flechas indican el
orden en que parecía tan inocente, es contradictorio, genera una paradoja. La
deben hacerse las paradoja de los conjuntos que no son miembros de sí mismos es
deducciones
lógicas. conocida actualmente como la «paradoja de Russell».
------------- ---

Propiedad que define a F: No es miembro de sí mismo.

F cumple la propiedad
«no es miembro de sí mismo» ~ent<
ento/ '-----------~ ~nces
«Es miembro de F»
Fes miembro de F equivaleª F no es miembro de F
1 «cumple la propiedad

:
:
,
e
_
º
;
-
L- ---enton~ ~-F n_ _ _:m_ _,:_,:_e_,:_ _ _:,_d_ad-~ ~onces
-
:
_ «no es miembro de sí mismo»
158 LAS PARADOJAS DEL INFINITO