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se definen los reales ( otra vez usando nociones cor\juntistas ); y los
reales son, finalmente, la base del cálculo.
En esa misma época, el matemático y lógico alemán Gott-
lob Frege (1848-1925) comenzaba a concebir el mismo proyecto
de basar todas las matemáticas en conceptos cor\juntistas; es
decir, Frege estaba a favor de las intenciones de Cantor y de De-
dekind, pero difería, sin embargo, en el estilo de argumentación
matemática que ellos usaban; expliquemos en qué consiste esta
idea. Durante siglos el modelo de razonamiento matemático por
excelencia estuvo dado por los Elementos de Euclides, la obra
fundamental de la geometría griega, escrita en el siglo rn a.c. En
su estructura lógica, los razonamientos de Euclides se basan en
axiomas, que son afirmaciones cuya verdad se acepta sin demos-
tración; a partir de esos axiomas, se deducen mediante razona-
miento lógicos todas las demás verdades de la teoría, verdades
que, en el caso de los Elementos, son propiedades geométricas.
Ahora bien, Euclides dividió a sus axiomas en dos grupos;
en el primero, están los postulados, que son afirmaciones refe-
ridas específicamente a objetos geométricos, mientras que en el
segundo están las llamadas «nociones comunes», que son reglas
generales del pensamiento, es decir, afirmaciones generales que
se aplican en cualquier situación, ya sea geométrica o no; un ejem-
plo de estas nociones comunes es que si dos cosas son iguales a
una tercera, entonces son iguales entre sí (véase el esquema).
Algunas de las
El punto que queremos destacar es que el sistema de axiomas nociones comunes
de Euclides no solamente se refiere a los objetos geométricos en de Euclides y su
traducción al
sí, sino que además nos da reglas más amplias acerca de lo que lenguaje moderno.

Euclides Lenguaje moderno
_
Si dos cosas son iguales a una tercera ___ Si a =e y b = e entonces a=b.
entonces son iguales entre sí.
Si a cosas iguales se añaden cosas Si a=b entonces a+c=b+c .
iguales se obtienen cosas iguales.
L Si de cosas iguales se sacan cosas Si a=b entonces a-c=b-c.
ig-uales se o=
n : sas iguale~.
__ ___J

LAS PARADOJAS DEL INFINITO 155