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libro Conceptografía, de 1879 (Begriffsschrift en alemán). Desde
todo punto de vista, el lenguaje creado por Frege es muy diferente
de nuestra esc1itura habitual; en realidad, más que un texto parece
un dibujo lineal. Es probable que esta diferencia fuera deliberada
y que tuviera como finalidad lograr que el lenguaje riguroso de las
matemáticas se alejara todo lo posible del lenguaje coloquial. Sin
embargo, esta decisión tuvo una consecuencia negativa, porque el
sistema resultaba muy arduo de comprender y esto redujo sensi-
blemente la penetración que la obra de Frege pudo haber tenido
en el público interesado en ella.

LA PARADOJA DE RUSSELL

En 1902, Frege acababa de enviar a la imprenta el segundo tomo
de sus Fundamentos de la aritmética, la obra en la que desarro-
llaba su programa de fundamentar las matemáticas en la teoria de
conjuntos, cuando recibió una carta del lógico inglés Bertrand Rus-
sell (1872-1970); la carta está fechada en Friday's Hill, Haslemere,
Reino Unido, el 16 de junio de 1902, y ocupa apenas una página.
En esa carta, Russell, que había leído el primer tomo de los Fun-
damentos, comenzaba elogiando el trabajo de Frege y manifestán-
dose completamente a favor de lo que él intentaba hacer; «pero
- agregaba Russell- he encontrado una pequeña dificultad».
¿Cuál era esa dificultad? Uno de los axiomas en los que Frege
basa la teoría de conjuntos es el llamado axioma de compren-
sión, que expresado en lenguaje coloquial dice que a toda pro-
piedad le corresponde un conjunto, que es el conjunto formado
por todos los objetos que cumplen esa propiedad. Por ejemplo,
a la propiedad «ser un libro de matemáticas» le corresponde el
conjunto formado por todos los libros de matemáticas; a la pro-
piedad «ser un número racional» le corresponde el conjunto de
todos los números racionales; y así sucesivamente. En su carta
a Frege, Russell formula la siguiente pregunta: ¿qué sucede si
tomamos la propiedad «ser un conjunto que no es miembro de
sí mismo»?

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