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podemos decir, o no, sobre los objetos en general. En otras pala-
bras, el sistema de axiomas no solo habla de las propiedades de
los objetos geométricos, sino que nos guía en las conclusiones que
podemos extraer de esas propiedades.
La teoría de conjuntos de Cantor, que es la misma en la que se
basaba Dedekind, no terúa una estructura lógica tan depurada; la
teoría no terúa axiomas; es decir, a diferencia de Euclides, Cantor
nunca dio una lista de las propiedades básicas en las que funda-
mentaba sus demostraciones. Él se limitaba a definir los objetos
(por ejemplo, los ordinales), muchas veces usando un lenguaje
bastante coloquial, y directamente de esas definiciones extraía
las conclusiones que le dictaba una lógica más o menos intuitiva.
Para Frege, esta situación era inaceptable; según él, la teoría de
conjuntos debía tener una estructura euclídea, es decir, debía co-
menzar con una lista clara y precisa de definiciones y de axiomas
(incluyendo estos a las nociones comunes), a partir de los cuales
se pudieran deducir rigurosamente todas las verdades de la teoría.
Pero Frege iba aún más allá, él deploraba que en las matemá-
ticas en general - no solo en la teoría de conjuntos- se usara un
lenguaje coloquial o que se apelara al sentido común en los razo-
namientos, prácticas que él denominaba «psicologismo». Frege
entendía que las matemáticas debían tener un lenguaje específico,
expresado mediante símbolos creados con ese fin y que las reglas
de deducción lógica (las reglas que nos dicen las conclusiones
que podemos extraer de determinadas premisas) debían estar asi-
mismo expresadas con toda precisión usando ese mismo lenguaje.
Como dijimos, esta preocupación de Frege por el «psicolo-
gismo» se refería a las matemáticas en general, no solo a la teoría
de conjuntos en particular; de hecho, sus primeras propuestas
para un lenguaje matemático riguroso son anteriores al inicio de
la teoría de conjuntos. Sin embargo, cuando, a la vez que Dede-
kind, en la segunda mitad de la década de 1880, Frege concibió la
idea de fundamentar todas las matemáticas en la teoría de con-
juntos, se concentró en aplicar el lenguaje que había creado a esa
teoría en particular.
Frege dedicó muchos años a desarrollar los símbolos y las
reglas de su lenguaje riguroso, que expuso por primera vez en su

156 LAS PARADOJAS DEL INFINITO