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un sistema de axiomas estará libre de paradojas; en consecuencia,
aunque los matemáticos están íntimamente convencidos de que
ZF no conduce a contradicciones lógicas y que, de hecho, en todos
los años transcurridos desde 1919 no se ha encontrado ninguna,
no hay modo matemáticamente infalible de demostrar que jamás
aparecerá alguna paradoja.
Listamos a continuación los axiomas de Zermelo-Fraenkel:
l. Dos conjuntos son iguales si tienen exactamente los mis-
mos miembros.
2. Existe el conjunto vacío.
3. Dados los objetos x e y existe siempre el par formado por
ambos.
4. La unión de dos o más conjuntos también es un conjunto.
5. Existe al menos un conjunto infinito.
6. Solo las propiedades expresables a partir de los restan-
tes axiomas pueden ser usadas para definir un conjunto.
7. Dado un conjunto cualquiera, existe siempre su conjunto
de partes (véase el capítulo 5).
8. Dada una familia, finita o infinita, de conjuntos no vacíos
( es decir, conjuntos cada uno de los cuales tiene al menos
un miembro), existe siempre un nuevo conjunto que con-
tiene exactamente un miembro de cada conjunto de la fa-
milia (véase el esquema explicativo de este axioma en la
página siguiente).
9. Ningún conjunto es miembro de sí mismo.
Analicemos brevemente cómo ZF evita que suceda la paradoja
de Russell y la paradoja de Cantor.
LAS PARADOJAS DEL INFINITO 163
