Page 164 - 30 Cantor

Familia de conjuntos Conjunto 4
Conjunto 1
Conjunto 3
Conjunto 2
C) ~99

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Miembro Miembro Miembro Miembro
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Nuevo conjunto
,..._ ______________ -- -----

Esquema Comencemos por decir que el axioma 9 implica que el con-
explicativo del
axioma de junto universal no existe, porque seria un conjunto que se tiene a
elección. Se elige sí mismo como miembro, y el axioma 9 dice que no existen conjun-
un miembro de
cada conjunto y tos así. De hecho, cuando los axiomas se escriben en el lenguaje
con todos ellos se
forma un nuevo simbólico adecuado puede probarse, en base al axioma 6, que el
conjunto. cortjunto universal ni siquiera puede definirse. Recordemos, ade-
más, que la paradoja de Cantor surge al pensar, precisamente, en
el cardinal del conjunto universal; pero si este cortjunto no existe
en realidad, entonces la paradoja de Cantor nunca llega a suceder.
En cuanto a la paradoja de Russell, recordemos que surge al
considerar el conjunto F formado por todos los cortjuntos que no
son miembros de sí mismos; pero el axioma 9 nos dice que todos los
cortjuntos cumplen la condición que define a F; por lo tanto, F seria
en realidad el cortjunto de todos los cortjuntos. Pero el cortjunto
de todos los cortjuntos, al ser él mismo un conjunto, se tendria a sí
mismo como miembro y, en consecuencia, otra vez por el axioma
9, no puede existir (de hecho - vale la misma observación que hi-
cimos antes para el universal-,-, es posible probar que F en reali-
dad no puede ni siquiera definirse en la teoria). En conclusión, en
realidad no existe, por lo que la paradoja de Russell nunca sucede.
La paradoja de Burali-Forti se resuelve de modo similar, de-
mostrando que el cortjunto de todos los ordinales no existe.

164 LAS PARADOJAS DEL INFINITO