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LOS NÚMEROS ALGEBRAICOS

Decimos que un número es algebraico si es solución de alguna ecuación del
1
tipo anxn +an_,xn- + ... +a,x+a = O, donde los coeficientes ª n• an_,, ... ,a son todos
0 0
/
números enteros Y además se cumple que an" O. Por ejemplo, 7 5 es alge-
braico porque es solución de la ecuación 5x- 7 = O; otro ejemplo de número
2
algebraico es ✓3, que es solución de la ecuación x -3=0. Se dice que esta
última ecuación es de grado 2, porque la mayor potencia de x que aparece
2
en ella es x ; mientras que la primera ecuación, por su parte, es de grado 1
(recordemos que x=x'). Pero puede probarse que ✓3, además de ser solución
2
3
2
de x -3=0, también lo es de la ecuación x -x - 3x+3=0, que es de grado
4
3, y también de X - 9 = O, que es de grado 4, y también de otra ecuación de
grado 5, y otra de grado 6, y así sucesivamente; sin embargo, no es solución
de ninguna ecuación que sea de grado menor que 2 y que cumpla a la vez las
condiciones arriba indicadas. El menor grado posible para ✓3 es 2, y por eso
se dice que ✓3 es un número algebraico de orden 2; otros números algebraicos
de orden 2 son, por ejemplo, ✓2 y
1+ ✓5
2
Por otra parte, puede probarse que lf2 es de orden 3, que ✓2 + ✓3 es de orden
4 y que todos los números racionales, como es el caso de 7 /5, son algebraicos
de orden l. Ahora bien, para que un segmento pueda construirse con una re-
gla no graduada y compás su longitud debe ser un número algebraico, pero
además ese número debe ser de orden 1, 2, 4, 8, 16 o cualquier otra potencia
de 2. Como 1t no es algebraico, entonces no es posible construir con regla y
compás un segmento de esa longitud, pero también es imposible construir un
segmento cuya longitud sea lf2 porque, aunque este número es algebraico,
su orden es igual a 3.

En su artículo de 1874, Cantor hizo un aporte significativo al
tema, al demostrar de manera indirecta que cualquier segmento
de la recta numérica contiene una infinidad de números trascen-
dentes.
¿Cómo lo hizo? Perfeccionando el método que vimos y que
nos permitió mostrar que los números racionales pueden orga-
nizarse en una sucesión, Cantor pudo probar que la colección de
los números algebraicos contenidos en cualquier segmento de la
recta numérica también puede organizarse en una sucesión.

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