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La pregunta, desde luego, es: ¿será coordinable la colección
de los números reales con la colección de los números naturales
(tal como lo eran las colecciones de los enteros y de los raciona-
les)? La respuesta, uno de los descubrimientos fundamentales de
Cantor, es que no, las dos colecciones no son coordinables, o sea,
es imposible establecer una correspondencia uno-a-uno entre la
colección de los reales y la de los naturales.
Para probarlo, no basta con mostrar un ejemplo fallido de
correspondencia (ya discutimos este punto cuando hablamos de
los enteros), sino que hay que ver que cualquier intento de poner
en correspondencia uno-a-uno a los números naturales con los
números reales fracasará. Nunca podremos lograr que cada nú-
mero natural quede emparejado exactamente con un número real.
Para facilitar la explicación, mostraremos el fracaso de un in-
tento específico de poner ambas colecciones en correspondencia
uno-a-uno, pero quedará claro que la explicación es válida para
cualquier otro intento, por lo que podremos asegurar que todo
intento de emparejamiento fallará inevitablemente. Mostremos
entonces un intento concreto de asignar un número real a cada
natural y veamos cómo es posible encontrar un número real que
haya quedado fuera de la asignación ( en el ejemplo que sigue solo
se muestran los números naturales del O al 4, pero la lista en rea-
lidad sigue indefinidamente):

Naturales Reales
o 2,3333333 ...
11,0000000 ...
2 0,1 2 O 1 1 O 1 ...
3 3,1415926 ...
4 1,1 1 1 1 1 1 1 ...

No está claro cuál es la regla por la que se han asignado los
números, pero no es relevante porque el método que mostraremos
funciona cualquiera que sea la regla de asignación. Centremos la
atención en las cifras que se encuentran detrás de la coma decimal:

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