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Naturales Reales
1
o 2,3333333 ...
1
11,0000000 ... lL
1
2 º· 1 2 O 1 1 O 1 ... º· 4 1 1 6 2 ...
3 3,1415926 ... i l
1
4 1, 1 1 1 1
El número que acabamos de calcular no está asignado a nin-
gún natural; se nos ha pasado por alto en el emparejamiento.
¿Cómo podemos estar seguros de eso? De esta manera: el nú-
mero que calculamos no puede ser el que está asignado al O, por-
que ambos difieren en la primera cifra decimal. Tampoco puede
ser el que está asignado al 1, porque ambos difieren en la segunda
cifra decimal. Tampoco puede ser el que está asignado al 2, por-
que ambos difieren en la tercera cifra decimal. Y así sucesiva-
mente.
Dado que hay un número que escapó a la asignación, enton-
ces nuestro ejemplo no puede constituir una correspondencia
uno-a-uno entre los naturales y los reales, pero cualquier otro in~
tento fracasará por la misma razón; por lo tanto, no existe una
correspondencia uno-a-uno entre las dos colecciones.
De hecho, modificando ligeramente el razonamiento anterior,
es posible demostrar que si tomamos cualquier segmento de la
recta numérica, no importa lo pequeño que sea (siempre y cuando
no se reduzca a un solo punto), entonces la colección de los nú-
meros contenidos en él no es coordinable con los naturales.
La colección de los números reales ( o de los números conte-
nidos en un segmento de la recta) no puede organizarse en una
sucesión, así es como lo enunció Cantor en 1874. Un detalle que
cabe mencionar es que la demostración que presentó Cantor en
esa ocasión no es exactamente la misma que se ha mostrado aquí.
El argumento diagonal no aparecería publicado hasta 1892, en un
artículo titulado «Sobre una cuestión elemental de la teoría de
conjuntos», del que hablaremos más adelante.
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