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segmento cualquiera como unidad de medida, construir, usando
una regla no graduada y compás, un segmento cuya longitud sea
n: veces esa medida. Expresado más brevemente, este segundo
problema pide construir un segmento de longitud n:.
Que los dos problemas sean equivalentes quiere decir que si
es posible construir un segmento de longitud n:, entonces es tam-
bién posible lograr la cuadratura del círculo, y viceversa. Por otra
parte, si alguna de las dos construcciones es imposible, entonces
también será imposible la otra.
El primer avance significativo en el problema se dio en el
siglo XVIII cuando se demostró que para que un segmento pudiera
ser construido con una regla no graduada y compás, su longitud
debía ser necesariamente un número algebraico. La definición
exacta de lo que es un número algebraico es un poco técnica y
la omitiremos aquí, basta decir que un número es algebraico si es
solución de cierto tipo especial de ecuación (un tipo de ecuación
en la que intervienen números enteros). Más aún, no todos los
números algebraicos pueden ser construidos con regla y compás,
sino, dentro de ellos, los algebraicos que cumplen una restricción
específica.
A los números que no son algebraicos se los llamó «trascen-
dentes», un nombre que a principios del siglo XIX era meramente
teórico porque, aunque se sabía que todos los números racionales
son algebraicos y que algunos irracionales, como J2, también son
algebraicos, no se sabía todavía si existía algún número que fuera
trascendente. En particular, a principios del siglo XIX se descono-
cía si el número n: era algebraico o trascendente.
El primer ejemplo conocido de número trascendente fue mos-
trado por el matemático francés Joseph Liouville en 1844. Ese nú-
mero, llamado hoy en día la constante de Liouville, comienza con
O, 110001000000000000000001000 ... ( el primer 1 aparece en el lugar
1 detrás de la coma, el segundo 1 aparece en el lugar 1- 2 = 2, el
tercer 1 aparece en el lugar 1- 2 • 3 = 6, y así sucesivamente). Liouvi-
lle mostró también otros números similares a este, todos ellos
trascendentes. En 1873, el también matemático francés Charles
Hermite aportó un nuevo ejemplo al demostrar que el número e
(la base de los logaritmos naturales) es trascendente.

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