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Ahora bien, también vimos antes que, por el contrario, la
colección de todos los números reales contenidos en ese mismo
segmento no puede organizarse en una sucesión. Esto quiere decir
que las dos colecciones no pueden ser la misma, porque una tiene
la propiedad de poder ordenarse en una sucesión, y la otra, no. Por
lo tanto, los números de cualquier segmento de la recta numérica
no pueden ser todos algebraicos, tiene que haber allí necesaria-
mente números que son trascendentes. En consecuencia, en cada
segmento de la recta numérica hay algún número trascendente,
de modo que en toda la recta hay infinitos números trascendentes.
Dijimos que la demostración era indirecta, con lo que se
quiere hacer notar que el razonamiento de Cantor prueba que exis-
ten infinitos números trascendentes, pero no aporta ningún ejem-
plo específico. Si Liouville y Hermite no hubieran publicado sus
resultados cuando lo hicieron y en 187 4 no se hubiera conocido ni
un solo ejemplo de número trascendente, entonces Cantor habría
mostrado que había infinitos números de un tipo del que no se co-
nocía ningún ejemplo. Más adelante trataremos más a fondo estas
demostraciones indirectas, pero digan10s por ahora que en aquel
momento fueron muy cuestionadas por algunos matemáticos.
Pero, ¿qué pasó con re? En 1882, el matemático alemán Carl
Louis Ferdinand von Lindemann demostró finalmente que re tam-
bién es un número trascendente y de este modo cerró el problema
de la cuadratura del círculo, que desde entonces se sabe que es
completamente imposible de resolver.

LAS CONSECUENCIAS

Cerramos así nuestro estudio de las ideas contenidas en el ar-
tículo de Cantor de 1874, pero ¿cuáles eran esas consecuencias
tan revolucionarias que Weierstrass le aconsejó que ocultara?
Volvamos al argumento diagonal y recordemos que en él se
prueba que si intentamos establecer una correspondencia uno-
a-uno entre la colección de los números naturales y la colección
de los números reales entonces nuestro intento fracasará porque

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