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de los números reales tiene un cardinal mayor que la colección de
los números naturales. Dicho de otro modo, sabía que los núme-
ros reales tienen un orden de infinitud superior al de los números
naturales, aunque no lo enunció públicamente hasta 1878, en un
artículo al que nos refe1iremos en este mismo capítulo.
Ante esta situación, surge naturalmente la pregunta de si
habrá alguna colección con un cardinal todavía mayor que el de
los números reales, y esa es precisamente la pregunta que Cantor
tenía en mente cuando le escribió a Dedekind la carta que antes
citamos. Detengámonos, entonces, un poco en analizar cómo la
pregunta de si habrá alguna colección con un cardinal superior al
de los números reales lleva al problema planteado por Cantor en
su carta.
En el capítulo anterior ya vimos que a cada punto de la recta
numérica le corresponde un número real y que, recíprocamente,
a cada número real le corresponde un punto de la recta. En otras
palabras, hay una correspondencia uno-a-uno entre los números
reales y los puntos de una recta (recordemos que otra forma de
expresarlo es diciendo que esas dos colecciones son coordina-
bles ). Por lo tanto, cuando se trata de cardinales, es exactamente
lo mismo hablar de los números reales que de los puntos de una
recta. Entonces, ¿qué colección podríamos proponer como candi-
data a tener un cardinal mayor que el de los puntos de una recta?
Dado que una recta es un objeto de una sola dimensión, parece
razonable suponer que un objeto de dos dimensiones, es decir,
una superficie, podría tener un cardinal mayor.
Ahora bien, si en realidad estamos pensando en la colección
de todos los números reales, y esta se corresponde con una recta,
¿por qué Cantor habla en su carta de un segmento, que es so-
lamente la parte de la recta comprendida entre dos puntos? La
respuesta es que puede probarse que todos los segmentos, no im-
porta su longitud, son coordinables entre sí, todos tienen el mismo
cardinal, y que a su vez cualquier segmento es coordinable con la
recta completa. En conclusión, cuando investigamos cardinales,
es lo mismo hablar de una recta que de un segmento.
Llegamos entonces a la pregunta que Cantor formulaba en la
carta del 5 de enero de 187 4: ¿es posible que un objeto de una sola

62 EL CÁLCULO Y EL INFINITO