Page 64 - 30 Cantor

He revisado una vez más su demostración y no he encontrado nin-
guna laguna; estoy seguro de que su interesante teorema es correcto,
y le felicito por él.

LA RESPUESTA

La respuesta, para sorpresa del propio Cantor, es que existe una
correspondencia uno-a-uno entre los puntos de un segmento y los
puntos de un cuadrado. En otras palabras, a pesar de que tiene
una dimensión más, el cardinal de un cuadrado no es mayor que
el cardinal de un segmento.
¿Cómo podernos demostrar este hecho? Un segmento, decía-
mos más arriba, es la parte de una recta comprendida entre dos
puntos; en consecuencia, podernos equipararlo con la colección
de todos los números reales comprendidos entre dos números
fijos. Más aún, dado que los puntos
r- asignados al O y al 1 en la recta nu-
mérica son totalmente arbitrarios,
FIG. 1
podernos equiparar a cualquier
o 0,75 segmento con la colección de los
números reales comprendidos
específicamente entre O y l. En
FIG. 2
la figura 1, a modo de ejemplo, se
puede observar la posición que le
corresponde al número O, 75.
p ¿ Cómo representarnos numé-
0,7 - - --, Abscisa = 0,2
Ordenada = 0,7 ricamente los puntos de un cua-
drado? Corno sabernos, los puntos
de un planisferio se representan
mediante dos coordenadas, su
longitud y su latitud; de la misma
forma, los puntos de un cuadrado
también tienen dos coordenadas,
o~-~'-------- -~
0,2 habitualmente llamadas abscisa y
ordenada (figura 2).

64 EL CÁLCULO Y EL INFINITO