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que podemos afirmar que ambas colecciones de puntos tienen
exactamente el mismo cardinal.
Decíamos antes que cualquier segmento tiene el mismo car-
dinal que la recta completa; de manera similar, puede probarse
que un cuadrado tiene el mismo cardinal que el plano completo.
Por lo tanto, de lo que hemos demostrado más arriba podemos
concluir que tanto una recta, como cualquier segmento, cualquier
cuadrado y el plano completo, todos tienen el mismo cardinal.
Este hecho tan1bién se extiende a objetos tridimensionales, ya que
es posible demostrar que el cardinal de un segmento es igual al
cardinal de un cubo, que es a su vez igual al cardinal de todo el
espacio tridimensional.
Volvamos a la pregunta que había motivado el problema:
¿existe alguna colección cuyo cardinal sea mayor que el de los
números reales? Por el momento, no hemos podido encontrar una
respuesta; ni un cuadrado, ni el plano, ni todo el espacio tridimen-
sional ( siempre pensados como colecciones infinitas de puntos)
nos dan un ejemplo en ese sentido, aunque tampoco tenemos un
argumento que nos pruebe que una colección con un cardinal
mayor que el de los reales no pueda existir.
En 1877, Cantor tampoco sabía si existía, o no, una colección
con un cardinal mayor que el de los números reales y no pudo
resolver la cuestión hasta su trabajo de 1883, tras haber alcanzado
las «notables aclaraciones» que mencionaba en la carta a Dede-
kind que citamos al comienzo del primer capítulo. ¿ Cuál es la res-
puesta? ¿Existe o no esa colección? Volveremos a este problema
en el capítulo siguiente.

LA HIPÓTESIS DEL CONTINUO

La colección de los números reales tiene un cardinal mayor que
el de los números naturales; la pregunta que motivó el problema
anterior es si habrá una colección con un cardinal aún mayor.
Pero hay otra pregunta que también surge naturalmente y es si
habrá una colección con un cardinal intermedio. En otras pala-

EL CÁLCULO Y EL INFINITO 69