Page 71 - 30 Cantor

En 1877 Cantor estaba convencido de la verdad de la hipóte-
sis del continuo; sin embargo, no había sido capaz de hallar una
demostración. El problema le preocupó durante muchos años y
en 1883, corno veremos, el hallar una respuesta positiva se trans-
formó para él en una cuestión sumamente importante. La res-
puesta final al problema resultó ser bastante sorprendente, corno
veremos más adelante.

EL SEGMENTO Y EL ESPACIO

Corno ya se ha expuesto anteriormente, cualquier segmento,
cualquier cuadrado y el plano completo tienen todos el mismo
cardinal, y esto vale también para un cubo y para todo el espacio
tridimensional.
Una consecuencia de ello es que, por ejemplo, si volvernos al
segmento que dibujamos antes, el fragmento comprendido entre
los números O y 0,0000000000001, que es un segmento de longi-
tud pequeñísima (imposible de percibir a simple vista), tiene, en
cuanto colección infinita de puntos, exactamente el mismo nivel
de infinitud que todo el espacio tridimensional, aunque este último
ocupe un volumen infinito en acto, es decir, un volumen infinita-
mente mayor que el de todo el universo (suponiendo que el uni-
verso tenga un volumen finito).
Esta conclusión, matemáticamente correcta, es sin embargo
tan contraria a la intuición que resulta muy difícil de aceptar, y
tanto más difícil era en la década de 1870, cuando inclusive la
mayoría de los matemáticos dudaba de la existencia misma del
infinito en acto.
Cantor expuso estas conclusiones en un artículo que escribió
en 1877 y que tituló «Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre» [Una
contribución a la teoría de las variedades] ( «variedad» era, para
Cantor, sinónimo de «colección»). En el mes de julio de ese año lo
envió al prestigioso Journal de Crelle, la misma revista berlinesa
que había publicado su trabajo de 1874, pero esta vez la situación
era muy diferente.

EL CÁLCULO Y EL INFINITO 71