Page 115 - 18 Godel

no es demostrable. Pero este enunciado es no-G, luego
no-G no sería demostrable; sin embargo, esto contradice
la suposición de que no-G sí es demostrable. El absurdo
prueba que no-G, después de todo, no es demostrable
(véase el esquema).

Queda así probado, sintácticamente, que tanto G como no-G,
ninguno de los dos, es demostrable. En resumen, la demostración
del primer teorema de incompletitud puede traducirse por com-
pleto a conceptos y argumentos sintácticos, tal como exige el pro-
grama de Hilbert. Este modo de presentar la demostración, basada
exclusivamente en argumentos sintácticos verificables de manera
mecánica, la puso a salvo de cualquier cuestionamiento.

EL SEGUNDO TEOREMA

El progran1a de Hilbert pedía, según hemos dicho, hallar un con-
junto consistente de axiomas para la aritmética de tal modo que
para todo enunciado P, o bien él, o bien su negación, fuera de-
mostrable. Pero además pedía que la consistencia de esos axiomas
fuera verificable algorítmicamente, pues esta verificación algorít-
mica de la consistencia nos daría la certeza de que los axiomas
nunca nos llevarían a una paradoja. En su artículo de 1931, Godel
demostró un segundo teorema, el llamado «segundo teorema de in-
completitud», que prueba que este objetivo es también irrealizable.
En la mayoría de los libros de divulgación este teorema suele
enunciarse de la siguiente manera:

«Ningún cor\junto de axiomas consistente que contenga sufi-
ciente aritmética puede probar su propia consistencia».

Tratemos de aclarar el significado de estos términos. En pri-
mer lugar, la frase «que contenga suficiente aritmética» se refiere
simplemente a la condición ya mencionada de que el cor\junto de
axiomas del que estan1os hablando sea capaz de demostrar todos

EL SEGUNDO TEOREMA DE GÓDEL 115