Page 112 - 18 Godel

Si se compara este último enunciado con el que hemos lla-
mado G, resulta claro que este último es no-G. Estamos di-
ciendo entonces que G y no-G serían a la vez demostrables.
Esto contradice que el coajunto de axiomas es consistente.
Hemos llegado a una contradicción. Este absurdo proviene
de suponer que Ges demostrable; por lo tanto, concluimos
que G no es demostrable (véase el esquema de la página
anterior).

OMEGA-CONSISTENCIA
Cuando en el texto hemos demostrado que el enunciado no-G no es demos-
trable, nos basamos en el hecho de que si una propiedad P cumple que:
el enunciado «1 no cumple la propiedad P» es demostrable
el enunciado «2 no cumple la propiedad P» es demostrable
el enunciado «3 no cumple la propiedad P» es demostrable
... y así sucesivamente,
entonces el enunciado «Existe algún x que cumple la propiedad P» no es
demostrable. Pero, les esto cierto? Veámoslo primero semánticamente. Su-
pongamos que P es una propiedad aritmética que cumple:
el enunciado «1 no cumple la propiedad P» es verdadero
el enunciado «2 no cumple la propiedad P» es verdadero
el enunciado «3 no cumple la propiedad P» es verdadero
... y así sucesivamente,

es decir, para cualquier número n es verdad que «n no cumple la propiedad
P». Está claro entonces que el enunciado «Existe algún x que cumple la pro-
piedad P» es falso (porque hemos dicho que ni 1, ni 2, ni 3, etc., cumplen la
propiedad). Pero es falso, si el universo del que estamos hablando es el de los
números naturales. Sin embargo, «Existe algún x que cumple la propiedad P»
podría ser cierto si hablamos de otros universos. Por ejemplo, si la propiedad
2
Pes «x = 2» y el universo es el de los números generados a partir de ✓2, en-
tonces 1 no cumple la propiedad, tampoco 2, ni 3, etc. Pero «Existe algún x
que cumple la propiedad P» es verdadero porque ✓2 sí la cumple. Llegados
aquí, lqué sucede sintácticamente? Tenemos otra vez la propiedad P, pero
ahora supongamos que:

112 EL SEGUNDO TEOREMA DE GÓDEL