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mos consecutivos. En este contexto, el enunciado anterior
afinnaría que «Existe algún número primo que no es suma o resta
de tres primos consecutivos», que en otro nivel de lectura diría:
«Existe el código de up enunciado, que no es el código de un enun-
ciado demostrable», es decir, «Existe un enunciado no demostra-
ble»; en otras palabras, «El conjunto de axiomas es consistente».
Tenemos dos niveles de lectura para «Existe algún número
primo que no es suma o resta de tres primos consecutivos»: un
nivel aritmético, el que aparece a simple vista, en el que solamente
se enuncia una propiedad aritmética; y también un nivel superior
de lectura, que depende de la numeración de Godel, en el que se
enuncia la consistencia del conjunto de axiomas. Tenemos enton-
ces el segundo teorema de incompletitud:

Si un sistema de axiomas aritméticos es consistente y puede
demostrar todos los enunciados finitistas verdaderos, enton-
ces el enunciado aritmético que afirma la consistencia del
conjunto de axiomas no es demostrable a partir de esos mis-
mos axiomas.

Comentemos la idea de la demostración de este teorema, tal
como hizo Godel en su artículo de 1931. En su primer teorema de
incompletitud, Godel demuestra que:

«Si el conjunto de axiomas es consistente, entonces G no
es demostrable».

Observemos que el enunciado que dice «G no es demostra-
ble» es el propio G. Es decir, G = «G no es demostrable». Por lo
tanto, en la afinnación anterior, donde dice «G no es demostra-
ble», podemos poner simplemente G. O, lo que es lo mismo, en su
primer teorema, Godel probó que:

«Si el conjunto de axiomas es consistente, entonces vale G».

Ahora bien, si fuera posible probar que el sistema de axiomas
es consistente, entonces tendríamos que el enunciado «Si el con-

EL SEGUNDO TEOREMA DE GÓDEL 117