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los enunciados finitistas verdaderos. Ahora bien, ¿cómo podría un
conjunto de axiomas probar, o no probar, su propia consistencia?
En principio, los axiomas aritméticos solo permiten probar enun-
ciados que hablen de números, no enunciados que hablen de la
consistencia de un conjunto de axiomas. Pero ya nos habíamos
enfrentado a un problema similar en el capítulo anterior, cuando
queríamos escribir un enunciado aritmético que hablara de sí
mismo. ¿Cómo logramos que un enunciado aritmético, que en
principio habla de números, hable de sí mismo? La manera de lo-
grarlo fue identificar a los enunciados con sus códigos, de modo
tal que hablar de un enunciado equivaliera a hablar de su código.

«Es necesario un método directo para la demostración
de la consistencia de los axiomas de la aritmética.»
- DAVID ffILBERT, EN LA CONFERENCIA INAUGURAL DEL SEGUNDO CONGRESO I NTERNACIONAL
DE MATEMÁTI CAS, CELEBRADO EN PARÍS EN 1900.

En el caso que ahora nos ocupa, en el que queremos escribir
un enunciado aritmético que hable de la consistencia de un con-
junto de axiomas, la numeración de Godel vuelve una vez más en
nuestra ayuda.
Como decíamos antes, si un conjunto de axiomas es inconsis-
tente, entonces cualquier enunciado es demostrable a partir de él.
Por el contrario, si el conjunto es consistente, siempre habrá un
enunciado que no es demostrable (ya que para cualquier P, o bien
él, o bien su negación, al menos uno de los dos, no lo es). Por lo
tanto, que un conjunto de axiomas sea consistente es equivalente
a que haya al menos un enunciado que no es demostrable a partir
de él. Así, que un sistema sea consistente equivale a decir:

«Existe algún enunciado que no es demostrable».

Retomemos el ejemplo hipotético del capítulo anterior. Supo-
níamos allí que a todos los enunciados les correspondían códigos
que eran nún1eros primos y a los enunciados demostrables, en par-
ticular, les correspondían primos que son suma o resta de tres pri-

116 EL SEGUNDO TEOREMA DE GODEL