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- Paso 7: Probemos ahora que no-G tampoco es demostra-
ble. Una vez más, hagárnoslo por el absurdo. Supongamos
que no-G sí es demostrable y lleguemos a una contradic-
ción. Como el conjunto de axiomas es consistente, si no-G
es demostrable, entonces G no puede serlo. Esto quiere
decir que no existe una demostración de G; por lo tanto,
ningún número es el código de una demostración de G: el
número 1 no es el código de una demostración de G, tam-

«l no cumple la propiedad P» es demostrable
«2 no cumple la propiedad P» es demostrable
«3 no cumple la propiedad P» es demostrable
... y así sucesivamente.
¿Es cierto que «Existe algún x que cumple la propiedad P>> no es demostrable?
En realidad, dado que en algunos universos es verdadero, no podemos afirmar
tajantemente que nunca será demostrable. La demostración de que no-G no
es demostrable tiene una laguna lógica porque no podemos afirmar que el
enunciado «Existe algún x que cumple la propiedad P» no será demostrable.
Para zanjar este problema, Godel introdujo la noción sintáctica de la «omega-
consistencia». Un conjunto de axiomas es omega-consistente si cada vez que
los enunciados, «l no cumple la propiedad P», «2 no cumple la propiedad P»,
etc., son todos demostrables, entonces «Existe algún x que cumple la propie-
dad P» no es demostrable. (De alguna manera, esto es forzar sintácticamente
que el universo de referencia sea el de los números naturales.) Por lo tanto,
en principio, en el enunciado sintáctico del primer teorema de Godel, donde
dice que el conjunto de axiomas es «consistente», habría que incluir «omega-
consistente».
La aportación de Rosser
Afortunadamente, en 1936 el lógico norteamericano John B. Rosser, en un
artículo de apenas dos páginas, modificó el razonamiento de Godel para que
también valiera bajo la hipótesis de la consistencia. De este modo, gracias a
Rosser, en el enunciado del teorema de Godel se puede omitir la mención
a la omega-consistencia y puede escribirse, sin faltar a la verdad, tal como lo
hemos hecho en el texto. La modificación que hizo Rosser al razonamiento
de Godel consistió en cambiar el enunciado autorreferente «Este enunciado
no es demostrable» por este otro: «Si este enunciado es demostrable, enton-
ces su negación también lo es».

EL SEGUNDO TEOREMA DE GÓDEL 113