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LA CONJETURA DE GOLDBACH
La afirmación de que todo número par
es suma de dos primos es conocida
como la «conjetura de Goldbach». Este
nombre se debe a que fue formulada por
Christian Goldbach en 1742, en una carta
escrita al famoso matemático suizo
Leonhard Euler (1707-1783). Al momento
de redactar estas líneas no se sabe si la
conjetura es cierta o no. Se ha verificado
que es verdadera para una gran cantidad
de números pares, pero nadie ha hallado
hasta ahora una demostración general que la pruebe para todos los casos, así
como tampoco se ha encontrado un ejemplo en el que la conjetura falle.

es verdadero, basta con probar una por una esas 55 parejas y ver
si para alguna de ellas la suma es 36. El enunciado es verdadero,
ya que 36 = 5 + 31.
En cambio, en el enunciado «43 es suma o resta de tres pri-
mos consecutivos», el hecho de que hablemos de suma o resta
implica que los primos involucrados puedan llegar a ser tan gran-
des como se quiera. La búsqueda de prin10s posibles es potencial-
mente infinita, por lo que el enunciado no es finitista.
Ahora bien, si proponemos un conjunto de axiomas para la
aritmética, lo menos que podemos pedirle es que sea capaz de
demostrar todos los enunciados finitistas verdaderos. Cabe hacer
notar que en lo que acabamos de decir la palabra «verdadero» está
asociada a enunciados finitistas. En ese contexto restringido,
«verdadero» o «falso» pasan a ser condiciones sintácticas, ya que
son verificables mecánicamente en una cantidad finita de pasos.
Planteado desde la sintaxis, el programa de Hilbert pedía hallar un
conjunto consistente y completo de axiomas para la aritmética
que fuera capaz de demostrar todos los enunciados finitistas ver-
daderos. El primer teorema de incompletitud prueba, precisa-
mente, que este objetivo es inalcanzable.

108 EL SEGUNDO TEOREMA DE GÓDEL