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INCONSISTENCIA Y COMPLETITUD

A partir de un cor\junto inconsistente de axiomas todo es demos-
trable. Asociado a esta idea surge un nuevo concepto sintáctico,
el de completitud. Un cor\junto de axiomas es completo si para
todo enunciado se cumple que, o bien él, o bien su negación (al
menos uno de ambos) es demostrable.
Podernos afirmar entonces que cualquier cor\junto inconsis-
tente es completo, porque dado cualquier enunciado P, tanto P
corno no-P, ambos enunciados, son demostrables. Pero se trata de
una cornplet~tud trivial que no nos da ninguna inf orrnación ya que
todo, absolutamente todo, es demostrable, inclusive aquellos
enunciados que son autocontradictorios, corno por ejemplo «Para
todo x vale que x es diferente de sí mismo».
Más interesante sería tener un cor\junto de axiomas que fuese
a la vez completo y consistente. Un cor\junto de axiomas que tu-
viera estas características se acercaría a cumplir el objetivo del
programa de Hilbert. En efecto, si el sistema es consistente, en-
tonces sus enunciados serían verdaderos en algún universo, y si
es completo, todas las verdades relativas a ese universo serían
demostrables (véase el esquema).

Conjunto consistente
pero incompleto de
axiomas.

~: no-P}
.-.
-- ,
,
t,.no-Q,
' _,
( '
1 R J ' no-R ]

O= demostrable : ; = no demostrable
... _ -..

106 EL SEGUNDO TEOREMA DE GÓDEL